3D计算公式精准解析，从基础到高级3d计算公式精准100%
本文目录导读：
3D坐标系与向量运算
3D计算的基础是三维坐标系,在笛卡尔坐标系中，空间中的任意一点P可以用三个坐标值(x, y, z)表示，x轴、y轴和z轴相互垂直，通常遵循右手坐标系的规则。
向量表示
在3D空间中,向量是描述点、线、面等几何元素的重要工具，一个向量可以表示为： [ \mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z) ] (v_x)、(v_y)、(v_z)分别表示向量在x、y、z轴上的分量。
向量长度（模）
向量的长度（或模）表示为： [ |\mathbf{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} ] 这个公式在计算距离、投影等操作中非常基础。
点积与叉积
点积（Dot Product）和叉积（Cross Product）是向量运算中的核心公式，广泛应用于3D计算。
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点积： [ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z ] 点积的结果是一个标量，可以用来计算两个向量之间的夹角： [ \cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} ] 点积在判断光线与表面的反射方向、计算投影等方面具有重要作用。
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叉积： [ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x) ] 叉积的结果是一个向量，其方向垂直于原来的两个向量，大小等于这两个向量构成的平行四边形的面积，叉积常用于计算法向量、旋转方向等。
三维几何变换
三维变换是将物体在空间中进行平移、旋转、缩放等操作的过程，这些操作可以通过矩阵乘法来表示，从而实现高效的计算。
平移变换
平移变换将物体沿着某个方向移动一定的距离,平移矩阵为： [ \mathbf{T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \ 0 & 1 & 0 & t_y \ 0 & 0 & 1 & t_z \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ] (t_x)、(t_y)、(t_z)分别表示沿x、y、z轴的平移量。
旋转变换
旋转变换是绕某个轴旋转物体,常见的旋转矩阵有绕x轴、y轴和z轴的旋转矩阵。
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绕x轴旋转θ角的矩阵： [ \mathbf{R_x}(\theta) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} ]
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绕y轴旋转θ角的矩阵： [ \mathbf{R_y}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \ 0 & 1 & 0 \ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{pmatrix} ]
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绕z轴旋转θ角的矩阵： [ \mathbf{R_z}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \ \sin\theta & \cos\theta & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ]
缩放变换
缩放变换改变物体的大小,缩放矩阵为： [ \mathbf{S} = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 \ 0 & s_y & 0 \ 0 & 0 & s_z \end{pmatrix} ] (s_x)、(s_y)、(s_z)分别表示沿x、y、z轴的缩放比例。
复合变换
在实际应用中,通常需要结合多种变换，复合变换可以通过矩阵乘法实现，顺序为先平移，再旋转，最后缩放： [ \mathbf{M} = \mathbf{S} \cdot \mathbf{R} \cdot \mathbf{T} ]
三维几何中的投影与裁剪
投影是将三维物体映射到二维平面上的过程,裁剪则是将不在屏幕或观察范围内的部分移除。
正交投影
正交投影是将三维点投影到某一平面（如xy平面）的过程，公式为： [ (x', y') = (x, y) ] 正交投影常用于工程制图和 orthographic rendering。
斜投影
斜投影允许投影方向与投影平面不垂直,斜投影矩阵为： [ \mathbf{P} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & k & 1 \end{pmatrix} ] k表示投影方向的缩放因子。
视锥变换
视锥变换将三维物体映射到视锥体（View frustum）内，视锥体的变换矩阵为： [ \mathbf{V} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\tan(\theta/2)} & 0 & 0 & 0 \ 0 & \frac{1}{\tan(\phi/2)} & 0 & 0 \ 0 & 0 & \frac{1 + z{far}/z{near}}{1 - z{far}/z{near}} & \frac{2 z{far} z{near}}{1 - z{far}/z{near}} \ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} ] θ是水平视角，φ是垂直视角，(z{near})和(z{far})分别是近 clipping 平面和远 clipping 平面的z坐标。
三维几何中的距离计算
距离计算是3D计算中的另一个核心问题。
点到平面的距离
点P(x, y, z)到平面ax + by + cz + d = 0的距离为： [ D = \frac{|a x + b y + c z + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} ] 这个公式在判断光照、碰撞检测等方面非常有用。
点到直线的距离
点P到直线L上一点Q(x0, y0, z0)的距离为： [ D = \frac{|\mathbf{QP} \times \mathbf{v}|}{|\mathbf{v}|} ] (\mathbf{v})是直线L的方向向量。
两平面之间的夹角
两平面之间的夹角可以通过它们的法向量计算： [ \cos\theta = \frac{|\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}|}{|\mathbf{n_1}| |\mathbf{n_2}|} ] (\mathbf{n_1})和(\mathbf{n_2})分别是两个平面的法向量。
三维几何中的曲线与曲面
曲线和曲面的计算在3D建模和动画中非常重要。
参数曲线
参数曲线可以表示为： [ \mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) ] t是参数，常见的参数曲线包括贝塞尔曲线和贝祖曲线。
曲面参数化
曲面可以表示为两个参数的函数： [ \mathbf{r}(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ] 常见的曲面包括球面、圆柱面和锥面。
曲线的曲率与挠率
曲线的曲率和挠率描述了曲线在其所在点的弯曲程度和旋转方向： [ \kappa = \frac{|\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''|}{|\mathbf{r}'|^3} ] [ \tau = \frac{(\mathbf{r}', \mathbf{r}'', \mathbf{r}''')}{|\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''|^2} ] 撇号表示对参数t的导数。
三维计算中的数值方法
在3D计算中,许多问题无法通过解析方法精确求解，因此需要采用数值方法。
牛顿迭代法
牛顿迭代法用于求解非线性方程的根,对于函数f(x)，迭代公式为： [ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} ] 这个方法在求解几何问题中的交点时非常有用。
线性代数方程组求解
许多3D计算问题可以转化为线性代数方程组,例如求解光线与表面的交点，方程组为： [ \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b} ] (\mathbf{A})是系数矩阵，(\mathbf{x})是未知数向量，(\mathbf{b})是常数向量，求解方法包括高斯消元法和矩阵求逆。
非线性方程组求解
对于复杂的几何问题,可能需要求解非线性方程组，常用的方法包括牛顿-拉夫森法和拟牛顿法。
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